Precalculus

För att göra kvadratisk formel behöver du bara veta vad du ska plugga var. Men innan vi kommer till den kvadratiska formeln behöver vi veta själva delar av vår ekvation. Du kommer att se varför det här är viktigt i ett ögonblick. Så här är den standardiserade ekvationen för en kvadratisk som du kan lösa med den kvadratiska formeln: ax ^ 2 + bx + c = 0 Nu som du märker har vi ekvationen x ^ 2 + 7x = 3, med 3 på andra sidan av ekvationen. Så för att lägga det i standardform ska vi subtrahera 3 från båda sidor fö Läs mer »

Geometriskt är en vektor en längd i en riktning. En vektor är (eller kan betraktas som) ett riktat linjesegment. En vektor (till skillnad från ett linjesegment) går från en punkt till en annan. Ett linjesegment har två ändpunkter och en längd. Det är en längd på en viss plats. En vektor har endast en längd och en riktning. Men vi tycker om att representera vektorer som använder linjesegment. När vi försöker representera en vektor med ett linjesegment måste vi skilja en riktning längs segmentet från andra håll. En del av Läs mer »

F (1) = 0 (x-1) är en faktor Ring det givna uttrycket f (x) f (x) = x ^ 3 + 5x ^ 2 + 2x-8 Låt x-1 = 0 "" rarr x = 1 "" subs 1 för x i uttrycket Genom att göra detta finner vi resten utan att behöva dela. f (1) = (1) ^ 3 + 5 (1) ^ 2 + 2 (1) -8 = 1 + 5 + 2-8 = 0 Att svaret är 0, berättar att resten är 0. Faktum är att det inte finns någon återstod. (x-1) är en faktor av uttrycket Läs mer »

(x + 1) är inte en faktor, men (x-1) är. Givet p (x) = x ^ 3 + 8x ^ 2 + 11x-20 om x + 1 är en faktor p (x) då p (x) = (x + 1) q (x) så för x = -1 Vi måste ha p (-1) = 0 Verifiera på p (x) p (-1) = (- 1) ^ 3 + 8 (-1) ^ 2 + 11 (-1) -20 = -24 så (x +1) är inte en faktor p (x) men (x-1) är en faktor eftersom p (1) = 1 + 8 + 11-20 = 0 Läs mer »

X = 3, x ~~ -2.81 Vi börjar med att flytta allt över till ena sidan så vi letar efter nollor av ett polynom: x ^ 6-x ^ 2-40x-600 = 0 Vi kan nu använda Rational Roots Theorem till finna att de möjliga rationella nollorna är alla koefficienter på 600 (den första koefficienten är 1 och att dividera med 1 gör ingen skillnad). Detta ger följande ganska stora lista: + -1, + - 2, + - 3, + - 4, + - 5, + - 6, + - 8, + - 10, + - 12, + - 15, + - 20, + - 24, + - 25, + - 30, + - 40, + - 50, + - 60, + - 75, + - 100, + - 120, + - 150, + - 200, + - 300, + -600 Lyckligtvis får vi Läs mer »

Om a är en rot av en polynom P (x) (det är P (a) = 0), så är P (x) delbar med (x-a) Så vi måste utvärdera P (3). Det vill säga: 3 ^ 3- (6 * 3 ^ 2) -3 + 30 = 27-54-3 + 30 = 27-57 + 30 = 0 och så är polynom-givningen delbar med (x-3) Läs mer »

(x + 4) är inte en faktor f (x) = 2x ^ 3 + 3x ^ 2-29x-60 Enligt faktorteorem om (xa) är en faktor av polynomet f (x), då f (a) = 0. Här måste vi testa för (x + 4) dvs (x - (- 4)). Om f (-4) = 0 är då (x + 4) en faktor av f (x) = 2x ^ 3 + 3x ^ 2-29x-60. f (-4) = 2 (-4) ^ 3 + 3 (-4) ^ 2-29 (-4) -60 = 2 × (-64) + 3 × 16-29 × (-4) -60 = -128 + 48 + 116-60 = 164-188 = -24 Därigenom (x + 4) är inte en faktor av f (x) = 2x ^ 3 + 3x ^ 2-29x-60. Läs mer »

Noll är ett reellt tal eftersom det existerar i det riktiga planet, dvs den riktiga tallinjen. 8 Din definition av ett imaginärt tal är felaktigt. Ett imaginärt tal är av formen ai där a! = 0 Ett komplext tal är av formen a + bi där a, b i RR. Därför är alla reella tal också komplexa. Också ett tal där a = 0 sägs vara rent imaginärt. Ett riktigt tal, som nämnts ovan, är ett nummer som inte har några imaginära delar. Detta betyder att koefficienten av i är 0. Dessutom är iota ett adjektiv som betyder en liten mä Läs mer »

Se nedan. Rötterna för bx ^ 2- (a-3b) x + b = O är x = (a - 3 b pmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) Rötterna kommer att sammanfalla och reellt om a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 eller a = b eller a = 5b Nu löser x ^ 2 (ab) x + ^ 2 + 1) = 0 vi har x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) Villkoret för komplexa rötter är en ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 lt 0 gör nu a = b eller a = 5b vi har ^ ^ - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Slutsatser, om bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 har sammanfallande reella rötter då x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 kommer att ha Läs mer »

1 / 2log (36) + 2log (3) + 1 = logg (540) (förutsatt logg log_10) Först kan vi använda följande identitet: alog_x (b) = log_x (b ^ a) Detta ger: 1 / 2log (36) (2) + log (3 ^ 2) + 1 = = logg (6) + log (9) +1 Nu kan vi använda multiplikationsidentiteten : log_x (a) + log_x (b) = log_x (a * b) logg (6) + logg (9) + 1 = logg (6 * 9) + 1 = logg (54) +1 Jag är osäker om Det är vad frågan begär, men vi kan också föra 1 till logaritmen. Om vi antar att loggen betyder log_10 kan vi skriva om 1 så: logg (54) + 1 = logg (54) + logg (10) Nu kan vi använda samma mul Läs mer »

3/5. Vi betraktar den oändliga GP a, ar, ar ^ 2, ..., ar ^ (n-1), .... Vi vet att för denna GP, summan av dess oändliga nr. av termer är s_oo = a / (1-r). :. a / (1-r) = 20 ......................... (1). Den oändliga serien av vilka termerna är kvadraterna för villkoren för den första GP är a ^ 2 + a ^ 2r ^ 2 + a ^ 2r ^ 4 + ... + a ^ 2r ^ (2n-2) + .... Vi märker att detta också är en Geom. Serie, av vilken den första termen är ^ ^ och det gemensamma förhållandet r ^ 2. Därför summan av dess oändliga nej. av termer ges av S_o Läs mer »

A = 2 och b = 5 Här är a (x-3) ^ 3 + b = a (x ^ 3-3 * x ^ 2 * 3 + 3 * x * 3 ^ 2-3 ^ 3) + b = ax ^ 3-9ax ^ 2 + 27ax-27a + b Jämförelse av ax ^ 3-9ax ^ 2 + 27ax-27a + b och 2x ^ 3-18x ^ 2 + 54x-49, vi får rarrax ^ 3 = 2x ^ 3 rarra = 2 och b-27a = -49 rarrb-27 * 2 = -49 rarrb-54 = -49 rarrb = 5 Så, a = 2 och b = 5. Läs mer »

Den tionde termen är log10, som är lika med 1. Om 20: e termen är log 20, och 32: e termen är log32, så följer att den tionde termen är log10. Log10 = 1. 1 är ett rationellt tal. När en logg skrivs utan en "bas" (abonnenten efter logg), antas en bas av 10. Detta är känt som "vanlig logg". Logbasen 10 av 10 är lika med 1, eftersom 10 till den första effekten är en. En bra sak att komma ihåg är "svaret på en logg är exponent". Ett rationellt tal är ett tal som kan uttryckas som en ration eller en frakt Läs mer »

I förklaring På ett normalt koordinatplan har vi koordinat som (1,2) och (3,4) och saker som så. Vi kan återuttrycka dessa koordinater n radi och vinklar.Så om vi har punkten (a, b) betyder det att vi går till höger, b-enheter upp och sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) som avståndet mellan ursprunget och punkten (a, b). Jag kommer att ringa sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r Så vi har re-arctan (b / a) För att avsluta det här beviset, låt oss återkalla en formel. e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) Funktionen av ljusbrun ger mig en vinkel som också är theta. Så Läs mer »

Nej En cirkel med centrum c och radie r är locus (samling) av punkter som är avstånd r från c. Således, givet r och c, kan vi se om en punkt ligger på cirkeln genom att se om det är avståndet r från c. Avståndet mellan två punkter (x_1, y_1) och (x_2, y_2) kan beräknas som "avstånd" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) (Denna formel kan härledas med hjälp av Pythagoras teorem) Så är avståndet mellan (0, 0) och (5, -2) sqrt ((5-0) ^ 2 + (- 2-0) ^ 2) = sqrt (25 + 4) = sqrt 29) Som sqrt (29)! = 5 betyder det att (5, -2) inte Läs mer »

(x - 4) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 36> Standardformen för ekvationen av en cirkel är: (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 där a, b) är koordinaterna till mitten och r, radien. här (a, b) = (4, -1) och r = 6 ersätter dessa värden i standardekvationen rArr (x - 4) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 36 "är ekvationen" Läs mer »

(x - -5) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = 9 ^ 2 Standardformen för ekvationen av en cirkel är: (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 där r är radie och (h, k) är mittpunkten. Att ersätta de angivna värdena: (x - -5) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = 9 ^ 2 Du kan skriva - -5 som + 5 men jag rekommenderar inte det. Läs mer »

(x - 7) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 81> Standardformen för ekvationen av en cirkel är (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 där , b) är koordinaterna för centrum och r, radien här (a, b) = (7, -3) och r = 9. Att ersätta i standardekvationen ger (x - 7) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 81 Läs mer »

"Först söker vi nollorna" x ^ 5 + 3 x ^ 2 - x = x (x ^ 4 + 3 x - 1) x ^ 4 + 3 x - 1 = (x ^ 2 + ax + b) 2 - ax + c) => b + ca ^ 2 = 0, "" (cb) = 3, "" bc = -1 => b + c = a ^ 2, "" cb = 3 / a => 2c = a ^ 2 + 3 / a, "" 2b = a ^ 2-3 / a => 4bc = a ^ 4 - 9 / a ^ 2 = -4 "Namn k = a2" "Då får vi följande kubiska ekvation "k ^ 3 + 4 k - 9 = 0" ersättare k = rp: "r ^ 3 p ^ 3 + 4 rp-9 = 0 => p ^ 3 + (4 / r ^ 2) p-9 / r ^ 3 = 0 "Välj r så att 4 / r² = 3 => r =" 2 / sqrt (3) "D&# Läs mer »

Centret är (-3, -3), "radie r" = sqrt5. Eqn. : x ^ 2 + y ^ 2 + 6x + 6y + 13 = 0 Låt de givna poängen. vara A (-4, -5) och B (-2, -1) Eftersom dessa är extremiteterna i en diameter, är mittpunkten. C i segment AB är mitten av cirkeln. Därför är centrumet C = C ((- 4-2) / 2, (-5-1) / 2) = C (-3, -3). r "är cirkelns radie" rArr r ^ 2 = CB ^ 2 = (- 3 + 2) ^ 2 + (- 3 + 1) ^ 2 = 5. :. r = sqrt5. Slutligen, eqn. av cirkeln med centrum C (-3, -3) och radiusr är (x + 3) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = (sqrt5) ^ 2, dvs x ^ 2 + y ^ 2 + 6x + 6y + 13 = 0 Läs mer »

(x + 3) ^ 2 + y ^ 2 = 106 Mitt i cirkeln är mittpunkten för punkterna. dvs (-3,0) Cirkelns radie är halva avståndet mellan punkterna. Avstånd = sqrt ((6-6) ^ 2 + (5--5) ^ 2) = sqrt (18 ^ 2 + 10 ^ 2) = sqrt (324 + 100) = sqrt (424) = 2sqrt106 Radius = sqrt (106) ekvation: (x + 3) ^ 2 + y ^ 2 = 106 Läs mer »

M = -65 / 3 Substitut x = 4, y = 3 i ekvationen för att hitta: 3 (4 ^ 2) +3 (3 ^ 2) -2 (4) + m (3) -2 = 0 Det är: 48 + 27-8 + 3m-2 = 0 Det är: 3m + 65 = 0 Så m = -65/3 graf {(3x ^ 2 + 3y ^ 2-2x-65 / 3y-2) ((x-4 ) ^ 2 + (y-3) ^ 2-0,02) = 0 [-8,46, 11,54, -2,24, 7,76]} Läs mer »

1/2 6400 = 25 * 256 = 5 ^ 2 * 2 ^ 8 => logg (6400) = logg (5 ^ 2) + logg (2 ^ 8) = 2 + 8 logg (2) logg (8) = logg (2 ^ 3) = 3 log (2) => (1 + log (8) + log (2)) / log (6400) = (1 +4 log (2)) / (2 + 8log (2)) = 1/2 Läs mer »

D = 14 För cirklar i allmänhet är x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 sann. Ekvationen ovan är redan löst genom att fylla rutan och finns i formuläret ovan. Därför, om r ^ 2 = 49 Då r = sqrt (49) r = 7 Men detta är bara radie.Om du vill ha diametern, multiplicera radien med två och få hela vägen över cirkeln. d = 2 * r = 14 Läs mer »

Y-6 = 4/3 (x + 12) Vi använder punktgradientformen eftersom vi redan har en punkt som linjen kommer att gå (-12,6) genom och ordet parallellt betyder att lutningen av de två linjerna måste vara densamma. För att hitta parallelllinjens lutning måste vi hitta lutningen av linjen som den är parallell med den. Denna rad är -3y + 4x = 9 som kan förenklas till y = 4 / 3x-3. Detta ger oss en gradient av 4/3. Nu för att skriva ekvationen lägger vi den i denna formel y-y_1 = m (x-x_1), var (x_1, y_1) den punkt som de löper igenom och m är lutningen. Läs mer »

Se förklaring Vi skriver linjen m enligt följande: 8x-7y + 10 = 0 => 7y = 8x + 10 => y = 8 / 7x + 10/7 och kx-7y + 10 = 0 => y = k / 7x + 10/7 Så att vara parallell k måste vara k = 8 för att vara vinkelrätt vi har det 8/7 * k / 7 = -1 => k = -49 / 8 Läs mer »

Låt den vanliga skillnaden i en AP av heltal vara 2d. Eventuella fyra på varandra följande termer av progressionen kan representeras som a-3d, a-d, a + d och a + 3d, där a är ett heltal. Så summan av produkterna i dessa fyra termer och fjärde kraften av den gemensamma skillnaden (2d) ^ 4 kommer att vara = färg (blå) (a-3d) (ad) (a + d) (a + 3d)) + färg (röd) (2d) ^ 4) = färg (blå) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + färg (röd) (16d ^ 4) = färg ) (färg- (grön) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) = färg (grön) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2, so Läs mer »

Vi börjar med grafen för y = f (x): graf {sqrt (16-x ^ 2) [-32.6, 32.34, -11.8, 20.7]} Vi gör sedan två olika omvandlingar till denna graf-en utvidgning, och en översättning. 3 bredvid f (x) är en multiplikator. Det berättar att du sträcker f (x) vertikalt med en faktor 3. Det betyder att varje punkt på y = f (x) flyttas till en punkt som är 3 gånger högre. Detta kallas en utvidgning. Här är ett diagram av y = 3f (x): diagram {3sqrt (16-x ^ 2) [-32.6, 32.34, -11.8, 20.7]} För det andra: -4 säger oss att ta diagrammet av y = 3f ) och flytta Läs mer »

Plotting av beställda par är ett mycket bra ställe att börja lära sig om kvadratiska graferna! I denna form, (x - 1) ^ 2, ställer jag vanligtvis in binomialets insida lika med 0: x - 1 = 0 När du löser den ekvationen ger du x-värdet på vertexen. Detta bör vara "mitt" -värdet av din lista med ingångar, så att du kan vara säker på att symmetrin i grafen visas väl. Jag använde tabellfunktionen i min miniräknare för att hjälpa, men du kan ersätta värdena för dig själv för att få de be Läs mer »

X = 15 för en AP x = 9 för en GP a) För en AP är skillnaden mellan på varandra följande termer lika, vi behöver bara hitta medelvärdena av termerna på båda sidor, (3 + 27) / 2 = 15 b) Eftersom både 3 (3 ^ 1) och 27 (3 ^ 3) är krafter på 3, kan vi säga att de bildar en geometrisk progression med en bas av 3 och ett gemensamt förhållande på 1. Därför är den saknade termen helt enkelt 3 ^ 2 , som är 9. Läs mer »

F (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 => f (x, y) = x ^ 2-2 * x * (3y) + (3y) ^ 2 + ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 => f (x, y) = (x-3y) ^ 2 + (2y-1) ^ 2-3 Minsta värde för varje kvadratiskt uttryck måste vara noll. Så [f (x, y)] _ "min" = - 3 Läs mer »

Det finns exakt 36 sådana icke-singulära matriser, så c) är det rätta svaret. Först anser du att antalet icke-singulära matriser med 3 poster är 1 och resten 0. De måste ha en 1 i var och en av raderna och kolumnerna, så de enda möjligheterna är: ((0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0)) "" ((0, 0, 0), (0, 0, 1) , (0, 0), (0, 0)) ((0, 1, 0), (0, 0) 1), (0, 0), (0, 0)) "" ((0, 0, 1), (0, 0, 0, 0, 0)) För var och en av dessa 6 möjligheter vi kan göra någon av de återstående sex 0 till en 1. Dessa är alla skiljbara. Så Läs mer »

Låt antalet fåglar i ö X vara n. Så kommer antalet fåglar i Y att vara 14000-n. Efter ett år har 20 procent av fåglarna på X migrat till Y och 15 procent av fåglarna på Y har migrerats till X. Men antalet fåglar på var och en av öarna X och Y förblir konstanta från år till år; Så n * 20/100 = (14000-n) * 15/100 => 35n = 14000 * 15 => n = 14000 * 15/35 = 6000 Därför kommer antalet fåglar i X att vara 6000 Läs mer »

Det finns inga prime nummer här. Varje nummer i uppsättningen är delbart med numret som läggs till factorial, så det är inte bra. Exempel 105! + 2 = 2xx3xx4xx ... xx105 + 2 = = 2xx (1 + 3xx4xx ... xx105) Det är ett jämnt antal, så det är inte bra. 105! + 101 = 2xx3xx ... xx101xx ... xx105 + 101 = (2xx3xx ... 100xx102xx103xx104xx105 + 1) xx101 Detta nummer är divisinble med 101, så det är inte bra. Alla andra siffror från denna uppsättning kan uttryckas på detta sätt, så de är inte primära. Läs mer »

Se förklaring. Minns det, | (a + b) | le | a | + | b | ............ (stjärna). :. | x + y + z | = | (x + 2) + (y + 3) + (z-5) | le | (x + 2) | + | (y + 3) | + | ) | .... [eftersom, (stjärna)], = 1 ........... [eftersom "Givet"). d.v.s. | (x + y + z) | le 1. Läs mer »

Polynomier öppnas med en positiv ledande koefficient. Antalet varv är en mindre än graden. Så, för a) eftersom det öppnar sig och har en tur är det en kvadratisk med en negativ ledande koefficient. b) öppnar sig och har 3 varv, så det är ett 4-gradigt polynom med en positiv ledande koefficient c) är lite svårare. Den har 2 varv så därför är det en kubisk ekvation. I det här fallet har den en ledande positiv koefficient eftersom den börjar på negativt territorium under tredje kvartalet och fortsätter att vara positivt under f Läs mer »

X ^ 2 + (y-6) ^ 2 = 109 Om cirkeln har ett centrum vid (0,6) och (-4, -3) är en punkt på sin omkrets, då har den en radie av: färg (vit ) (XXX) r = sqrt ((0 - (- 3)) ^ 2+ (6 - (- 4)) ^ 2) = sqrt (109) Standardformuläret för en cirkel med centrum (a, b) och radien r är färg (vit) ("XXX") (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 I det här fallet har vi färg (vit) ("XXX") x ^ 2 + (y-6 ) ^ 2 = 109 graf (x ^ 2 + (y-6) ^ 2 = 109 [-14,24, 14,23, -7,12, 7,11]} Läs mer »

(x + 3) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 130> ekvationen för en cirkel i standardform är: (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2 där , b) är centrum och r, radien I denna fråga ges centrumet men behöver för att hitta r Avståndet från centrum till en punkt på cirkeln är radie. beräkna r med färgen (blå) ("distansformel") som är: r = sqrt ((x_2 - x_1) ^ 2 + (y_2 - y_1) ^ 2) med användning av (x_1, y_1) = (-3,2) ) färg (svart) ("och") (x_2, y_2) = (4,7) då r = sqrt (4 - (- 3) ^ 2 + (7 - (- 2) ^ 2)) = sqrt +81) = sqrt130 cirkel ekvat Läs mer »

B = ((a, b), (-a, -b)) "Benämna elementen i B enligt följande:" B = ((a, b), (c, d)) "Multiplicera: , (3, 3)) * ((a, b), (c, d)) = ((-ac, -bd), (3a + 3c, 3b + 3d)) "Så vi har Följande system av linjära ekvationer: "a + c = 0 b + d = 0 a + c = 0 b + d = 0 => a = -c," "b = -d" Så "B = ((a, b ), (- a, -b)) "Så uppfyller alla B i den formen. Den första raden kan ha" "godtyckliga värden, och den andra raden måste vara den negativa" "i den första raden." Läs mer »

X = 4, y = 6 För att hitta x och y måste vi hitta punktprodukten av de två vektorerna. ((x, y)) (7), (3)) = ((7x, 7y), (3x, 3y)) 7x = 28 x = 28/7 = 4 3 (4) = 13 7y = 42 y = 42/7 = 6 3 (6) = 18 Läs mer »

Jag. k <+ - 1 ii. k = + - 1 iii. k> + - 1 Vi kan omorganisera för att få: x ^ 2 + 4-k (x ^ 2-4) = 0 x ^ 2 (1-k ^ 2) + 4 + 4k = 0 a = 1-kb = 0 c = 4 + 4k Diskriminanten är b ^ 2-4ac b ^ 2-4ac = 0 ^ 2-4 (1-k) (4 + 4k) = 16k ^ 2-16 16k ^ 2-16 = 0 16k ^ 2 = 16 k ^ 2 = 1 k = + - 1 Om k = + - 1, kommer diskriminanten att vara 0, vilket betyder 1 reell rot. Om k> + - 1 kommer diskriminanten att vara> 0, vilket betyder två reella och distinkta rötter. Om k <+ - 1 kommer diskriminanten att vara <0, vilket betyder ingen reella rötter. Läs mer »

(x) = xx = xx = xx = 5x + 16/5 Hitta (f g) (x) betyder att hitta f (x) när den är sammansatt med g (x) eller f (g (x)). Det betyder att ersätta alla instanser av x i f (x) = 5x + 4 med g (x) = x-4/5: (f g) (x) = 5 (g (x)) + 4 = 5 4-5) + 4 = 5x-4 + 4 = 5x Således (f g) (x) = 5x Att hitta (g f) (x) betyder att hitta g (x) när den är sammansatt med f (x ) eller g (f (x)). Det betyder att ersätta alla instanser av x i g (x) = x-4/5 med f (x) = 5x + 4: (g) f) (x) = f (x) -4 / 5 = 5x + 4- 4/5 = 5x + 20 / 5-4 / 5 = 5x + 16/5 Således (g) f) (x) = 5x + 16/5 Läs mer »

Hatt (PQR) = cos ^ (- 1) (27 / sqrt1235) Var två vektorer vec (AB) och vec (AC): vec (AB) * vec (AC) = (AB) ) = (x_ (AB) x_ (AC)) + (y_ (AB) y_ (AC)) + (z_ (AB) z_ (AC)) Vi har: P = (1; 1; 1) Q = -2, 2; 4) R = (3; -4; 2) därför vec (QP) = (x_P-x_Q; y_P-y_Q; z_P-z_Q) = (3; -1; -3) vec (QR) = (x_R-x_Q; y_R-y_Q; z_R-z_Q) = (5; -6; -2) och (QP) = sqrt ((x_ (QP)) ^ 2+ (y_ (QP)) ^ 2+ z_ (QP) ^ 2) = sqrt (9 + 1 + 9) = sqrt (19) (QR) = sqrt ((x_ (QR)) ^ 2+ (y_ (QR)) ^ 2+ ) ^^) = sqrt (25 + 36 + 4) = sqrt (65) Därför: vec (QP) * vec (QR) = sqrt19sqrt65cos (hatt (PQR)) = 6) + (- 3) (- 2)) rarr cos (hatt (PQR Läs mer »

P / q. Låt nos. var x och y, "var, x, y" i RR ^ +. Med det som ges, x: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) :( p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)). :. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "say". :. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) och y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)). Nu är AM A av x, y, A = (x + y) / 2 = lambdap, och deras GM G = sqrt (xy) = sqrt [lambda ^ 2 (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)}] = lambdaq. Klart "det önskade förhållandet" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q. Läs mer »

X = -1.84712709 "eller" 0.18046042 "eller" 4/3. "Applicera den rationella rötternas teorem." "Vi söker efter roten av formen" pm p / q ", med" p "en divisor av 4 och" q "en divisor av 9." "Vi finner" x = 4/3 "som rationell rot." "Så" (3x - 4) "är en faktor, vi delar upp den:" 9 x ^ 3 + 3 x ^ 2 - 23 x + 4 = (3 x - 4) (3 x ^ 2 + 5 x - 1 ) "Lösning av den återstående kvadratiska ekvationen ger de andra rötterna:" 3 x ^ 2 + 5 x - 1 = 0 "skiva" 5 ^ 2 + 4 * 3 = Läs mer »

Jag gillar att använda Pascal's Triangle för att göra binomial expansion! Triangeln hjälper oss att hitta koefficienterna för vår "expansion" så att vi inte behöver göra Distributive egendom så många gånger! (det representerar faktiskt hur många av samma termer vi har samlat) Så, i formuläret (a + b) ^ 4 använder vi raden: 1, 4, 6, 4, 1. 1 (a) ^ 4 + 4 a) ^ 3 (b) +6 (a) ^ 2 (b) ^ 2 + 4 (a) (b) ^ 3 + (b) ^ 4 Men ditt exempel innehåller a = 3 och b = i. Så ... 1 (3) ^ 4 + 4 (3) ^ 3 (i) +6 (3) ^ 2 (i) ^ 2 + 4 (3) (i) ^ 3 + ( Läs mer »

2root (3) 2. Antag att det gemensamma förhållandet (cr) hos GP i fråga är r och n ^ (th) termen är sista termen. Med tanke på att GP: s första term är 2.: "GP är" {2,2r, 2r ^ 2,2r ^ 3, .. 2r ^ (n-4), 2r ^ (n-3) , 2r ^ (n-2), 2r ^ (n-1)}. Givet, 2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3 = 30 ... (stjärna ^ 1) och 2r ^ (n-4) + 2r ^ (n-3) + 2r ^ (n-2) + 2r ^ (n-1) = 960 ... (stjärna ^ 2). Vi vet också att sista termen är 512.:. r ^ (n-1) = 512 .................... (stjärna ^ 3). Nu (stjärna ^ 2) rArr r ^ (n-4) (2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3) = 960, dvs (r ^ (n-1)) Läs mer »

-0.43717, +2, "och" +11.43717 "är de tre nollorna." "Använd först den rationella rötternas teorem för att söka efter rationella rötter." Här kan vi bara ha divisorer av 10 som rationella rötter: "pm 1, pm 2, pm 5" eller "pm 10" Så det finns bara 8 möjligheter att kontrollera." "Vi ser att 2 är roten vi söker efter." "Om 2 är en rot, (x-2) är en faktor och vi delar upp den:" x ^ 3 - 13 x ^ 2 + 17 x + 10 = (x-2) (x ^ 2-11 x-5 ) "Så de återstående två no Läs mer »

Låt 1: a termin och gemensamt förhållande av GP är a respektive r. Med första villkoret a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 = 30 ... (1) Med andra villkoret a + ar ^ 3 = 2 * 9 .... (2) Subtrahering (2) från (1) ar + ar ^ 2 = 12 .... (3) Delning (2) med (3) (1 + r ^ 3) / (r + r ^ 2) = 18/12 = 3/2 => r) (1-r + r ^ 2)) / (r (1 + r)) = 3/2 => 2-2r + 2r ^ 2 = 3r => 2r ^ 2-5r + 2 = 0 => 2r ^ 2-4r-r + 2 = 0 => 2r (r-2) -1 (r-2) = 0 => (r-2) (2r-1) = 0 Så r = 2or1 / 2 Läs mer »

U_n = n och V_n = (-1) ^ n Varje serie som inte är konvergent sägs vara avvikande U_n = n: (U_n) _ (n i NN) avviker eftersom den ökar och det tillåter inte ett maximum: lim_ (n -> + oo) U_n = + oo V_n = (-1) ^ n: Denna sekvens avviker medan sekvensen är begränsad: -1 <= V_n <= 1 Varför? En sekvens konvergerar om den har en gräns, singel! Och V_n kan sönderdelas i 2 delsekvenser: V_ (2n) = (-1) ^ (2n) = 1 och V_ (2n + 1) = (-1) ^ (2n + 1) = 1 * (-1 ) = -1 Då: lim_ (n -> + oo) V_ (2n) = 1 lim_ (n -> + oo) V_ (2n + 1) = -1 En sekvens konvergerar om och endast om Läs mer »

Använd naturlig logaritm på båda sidor: ln (4 ^ (2x + 1)) = ln (1024) Använd egenskapen hos logaritmer som gör att man kan flytta exponenten till utsidan som en faktor: (2x + 1) ln (4) = ln (1024) dela båda sidorna av ln (4): 2x + 1 = ln (1024) / ln (4) subtrahera 1 från båda sidor: 2x = ln (1024) / ln (4) -1 dela båda sidor av 2: x = ln (1024) / (2ln (4)) - 1/2 Använd en kalkylator: x = 2 Läs mer »

Med tanke på den givna ekvutionen med en ändring 4 (1 + y) x ^ 2-4xy- (1-y) => 4 (1 + y) x ^ 2-2 (1 + y) x + 2 (1-y) x- (1-y) => 2 (1 + y) x (2x-1) + (1-y) (2x-1) => (2x-1) (2 (1 + y) x + y)) = 0 Därför x = 1/2 Kontrollerar 4 (1 + y) x ^ 2-4xi- (1-y) = 4 (1 + y) (1/2) ^ 2-4 (1/2) y- (1-y) = 1 + y-2y-1 + y = 0 Läs mer »

Y = 3x ^ 2-6x-7 Förenkla den givna ekvationen som y + 10 = 3 (x ^ 2 -2x +1) Därför är y = 3x ^ 2xx 3-10 eller y = 3x ^ 2-6x- 7, vilket är den obligatoriska standardformen. Läs mer »

"Se förklaring" "Den ursprungliga tabellen är:" ((0,1,2,0), (- 1,4,2,60), (- 2,2,4,48), (O, -8, -6,0)) "Vridning runt elementet (1,1) ger:" ((O, -1,2,0), (1,1 / 4,1 / 2,15), (-2,2 / 2,3,18), (0,2, -2, 120)) "Vridning runt elementet (2,2) ger:" ((O, -1, -2,0), (1,1 / 3, - 1 / 6,12), (2, -1 / 6,1 / 3,6), (0,5 / 3,2 / 3,132)) "Så den slutliga lösningen är:" "Maximalt för z är 132." "Och detta nås för x = 12 och y = 6." Läs mer »

(a) 54 minuter; (b) 50 minuter och (c) 3,7 km. från N skulle det ta 46,89 minuter. (a) Som NA = 10km. och NP är 25km. PA = sqrt (10 ^ 2 + 25 ^ 2) = sqrt (100 + 625) = sqrt725 = 26.926km. och det kommer att ta 26.962 / 30 = 0.89873hrs. eller 0.89873xx60 = 53.924min. säg 54 minuter. b) Om Thorsten först körde till N och sedan använde vägen P tar han 10/30 + 25/50 = 1/3 + 1/2 = 5/6 timmar eller 50 minuter och han blir snabbare. (c) Låt oss anta att han direkt når x km. från N till S, då AS = sqrt (100 + x ^ 2) och SP = 25-x och tiden som tas är sqrt (100 + x ^ 2) / 3 Läs mer »

F ^ -1 (x) = 1/2 (y-7) Givet: f (x) = 2x + 7 Låt y = f (x) y = 2x + 7 Uttrycka x i termer av y ger oss den inverse av x y-7 = 2x 2x = y-7x = 1/2 (y-7) Således f ^ -1 (x) = 1/2 (y-7) Läs mer »

Den speciella symbolen jag används för att representera kvadratroten av negativ 1, sqrt-1 Vi vet att det inte finns något sådant i det verkliga taluniverset som sqrt-1 eftersom det inte finns två identiska siffror som vi kan multiplicera tillsammans för att få - 1 som vårt svar. 11 = 1 och -1-1 är också 1. Självklart är 1 * -1 = -1, men 1 och -1 inte samma nummer. De båda har samma storlek (avstånd från noll), men de är inte identiska. Så när vi har ett nummer som involverar en negativ kvadratroter, utvecklade matematik en plan fö Läs mer »

Den huvudsakliga drivkraften här är att vi inte kan ta kvadratroten av ett negativt tal i det riktiga nummersystemet. Så vi måste hitta det minsta antalet som vi kan ta kvadratroten av det som fortfarande finns i det reala talsystemet, vilket givetvis är noll. Så vi måste lösa ekvationen 2x + 7 = 0 Det är självklart det här x = -7/2 Så det är det minsta, lagliga x-värdet, vilket är den nedre gränsen för din domän. Det finns inget maximalt x-värde, så den övre gränsen för din domän är positiv oän Läs mer »

3 / (x-1) + 4 / (1-2x) = (2x + 1) / ((x-1) (2x-1)) Vi börjar med att föra de två terminerna under en gemensam nämnare: 3 / -1) + 4 / (1-2x) = (3 (1-2x)) / ((x-1) (1-2x)) + (4 (x-1)) / ((x-1) ( 1-2x)) Nu kan vi bara lägga till täljare: (3 (1-2x) +4 (x-1)) / ((x-1) (1-2x)) = (3-6x + 4x-4 ) / (x-1) (1-2x)) = = (- 1-2x) / ((x-1) (1-2x)) Ta ut en minus på både topp och botten, vilket gör att de avbryts: (- (2x + 1)) / ((x-1) (- (- 1 + 2x)) = (- (2x + 1)) / (- (x-1) (2x + 1) / ((x-1) (2x-1)) som är alternativ C Läs mer »

M = log_2 (35) -1 ~~ 4.13 Vi börjar med att subtrahera 9 från båda sidor: 2 ^ (m + 1) + avbryt (9-9) = 44-9 2 ^ (m + 1) = 35 Ta log_2 på båda sidor: avbryt (log_2) (avbryt (2) ^ (m + 1)) = log_2 (35) m + 1 = log_2 (35) Subtrahera 1 på båda sidor: m + avbryt (1-1) = log_2 ) -1 m = log_2 (35) -1 ~~ 4,13 Läs mer »

(-5-3i) / (4i) = - 3/4 + 5 / 4i Vi vill ha det komplexa numret i formen a + bi. Det här är lite knepigt eftersom vi har en imaginär del i nämnaren, och vi kan inte dela ett riktigt tal med ett imaginärt tal. Vi kan dock lösa detta med ett litet knep. Om vi multiplicerar både topp och botten av jag kan vi få ett riktigt nummer i botten: (-5-3i) / (4i) = (i (-5-3i)) / (i * 4i) = (- 5i 3) / (- 4) = - 3/4 + 5 / 4i Läs mer »

Först hitta m. De första tre koefficienterna kommer alltid att vara ("_ ^ ^) = 1, (" _1 ^ m) = m och ("_2 ^ m) = (m (m-1)) / 2. Summan av dessa förenklas till m ^ 2/2 + m / 2 + 1. Ställ detta lika med 46 och lösa för m. m ^ 2/2 + m / 2 + 1 = 46 m ^ 2 + m + 2 = 92 m ^ 2 + m - 90 = 0 (m + 10) (m - 9) = 0 Den enda positiva lösningen är m = 9. I expansion med m = 9 måste termen sakna x vara termen som innehåller (x ^ 2) ^ 3 (1 / x) ^ 6 = x ^ 6 / x ^ 6 = 1 Denna term har en koefficient av ("_6 ^ 9) = 84. Lösningen är 84. Läs mer »

Z_1 / z_2 = 2 + jag Vi behöver inte beräkna z_1 / z_2 = (4-3i) / (1-2i) Vi kan inte riktigt göra mycket eftersom nämnaren har två termer i det, men det finns ett knep vi kan använda . Om vi multiplicerar topp och botten av konjugatet får vi ett helt verkligt tal längst ner, vilket gör att vi kan beräkna fraktionen. (4-3i) / (1-2i) = ((4-3i) (1 + 2i)) / ((1-2i) (1 + 2i)) = (4 + 8i-3i + 6) / (1 +4) = = (10 + 5i) / 5 = 2 + jag Så vårt svar är 2 + i Läs mer »

Efter 22,0134 år eller 22 år och 5 dagar 200000 = 50000 * (1+ (6,5 / 100)) ^ t 4 = 1,065 ^ t log4 = log1.065 ^ t 0,60295999 = 0,02734961 * tt = 0,60295999 / 0,02734961 t = 22,013478 år eller t = 22 år och 5 dagar Läs mer »

Funktionen är udda. Om en funktion är jämn uppfyller den villkoret: f (-x) = f (x) Om en funktion är udda uppfyller den villkoret: f (-x) = - f (x) I vårt fall ser vi det f (-x) = 5 ^ -x-5 ^ x = - (5 ^ x-5 ^ -x) = - f (x) Eftersom f (-x) = - f (x) är funktionen udda. Läs mer »

Låt f (x) = | x -1 |. Om f var jämn, skulle f (-x) motsvara f (x) för alla x. Om f var udda, skulle f (-x) motsvara -f (x) för alla x. Observera att för x = 1 f (1) = | 0 | = 0 f (-1) = | -2 | = 2 Eftersom 0 inte är lika med 2 eller till -2, är f inte heller jämn eller udda. Kan f skrivas som g (x) + h (x), där g är jämn och h är udda? Om det var sant, var g (x) + h (x) = | x - 1 |. Ring detta uttalande 1. Byt x vid -x. g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | Eftersom g är jämn och h är udda, har vi: g (x) - h (x) = | -x - 1 | Ring detta uttalande 2. När Läs mer »

(4sqrt (3) -4i) ^ 22 = 2 ^ 65 + 2 ^ 65sqrt (3) I färg (vit) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 36893488147419103232 + 36893488147419103232sqrt (3) (3) -4i) ^ 22 Observera att: abs (4sqrt (3) -4i) = sqrt ((4sqrt (3)) ^ 2 + 4 ^ 2) = sqrt (48 + 16) = sqrt (64) = 8 Så 4sqrt (3) -4i kan uttryckas i formen 8 (cos theta + i sin theta) för några lämpliga theta. 4sqrt (3) -4i = 8 (sqrt (3) / 2-1 / 2i) = 8 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) Så: (4sqrt (3) -4i) ^ 22 = (8 (cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6)) ^ 22 färg (vit) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 22pi) / 6) + isin (- (22pi) / 6)) färg (vit) (4sqrt (3) Läs mer »

X = 128/11 = 11.bar (63) Vi börjar med att höja båda sidorna som en kraft av 6: cancel6 ^ (cancel_log_6) (log_2 (5.5x))) = 6 ^ 1 log_2 (5.5x) = 6 Sedan höjer vi båda sidor som 2: cancel2 ^ (avbryt (log_2) (5.5x)) = 2 ^ 6 5.5x = 64 (cancel5.5x) /cancel5.5=64/5.5 x = 128/11 = 11 .bar (63) Läs mer »

Log_5 (7) ~~ 1.21 Förändringen av basformeln säger att: log_alpha (x) = log_beta (x) / log_beta (alfa) I det här fallet byter jag basen från 5 till e, eftersom log_e (eller oftare ln ) finns på de flesta miniräknare. Med hjälp av formeln får vi: log_5 (7) = ln (7) / ln (5) Ansluta detta till en kalkylator får vi: log_5 (7) ~~ 1.21 Läs mer »

48 Med tanke på jag som det imaginära talet, definierat som i ^ 2 = -1 (6i) * (- 8i) = (- 8 * 6) i ^ 2 = -48i ^ 2 = 48 Läs mer »

Phi = 164 ^ "o" Här är ett mer noggrant sätt att göra detta (enklare sätt längst ner): Vi uppmanas att hitta vinkeln mellan vektorns vecb och den positiva x-axeln. Vi föreställer oss att det finns en vektor som pekar i den positiva x-axelriktningen, med magnitud 1 för förenklingar. Denna enhet vektor, som vi kallar vektor veci, skulle vara två dimensionellt veci = 1hati + 0hatj Den punktprodukten av dessa två vektorer ges av vecb • veci = bicosphi där b är storleken på vecb i är storleken på veci phi är vinkeln mellan vektor Läs mer »

Storleken (längden) för en vektor i två dimensioner ges av: l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2). I detta fall gäller för vektorn a, l = sqrt (3,3 ^ 2 (- 6,4) ^ 2) = sqrt (51,85) = 7,2 enheter. För att hitta längden på en vektor i två dimensioner, om koefficienterna är a och b, använder vi: l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) Detta kan vara vektorer av formen (ax + by) eller (ai + bj) eller (a, b). Intressant sidnot: för en vektor i 3 dimensioner, t.ex. (ax + by + cz), det är l = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) - fortfarande en kvadratroten, inte en kubrot I detta fall är koeffic Läs mer »

| a + b | = 14.6 Uppdela de två vektorerna i deras x- och y-komponenter och lägg dem till sina motsvarande x eller y, som så: 3.3x + -17.8x = -14.5x -6.4y + 5.1y = -1.3y Vilket ger en resulterande vektor av -14.5x - 1.3y För att hitta storleken på denna vektor, använd Pythagoras teorem. Du kan föreställa dig x- och y-komponenterna som vinkelräta vektorer, med rätt vinkel där de går med och a + b-vektorn, låt oss kalla det c, ansluta till de två, och så c ges av: c ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 c = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) Att ersätta värdena för x Läs mer »

Svaret är = 1 Om vi har 2 vektorer vecA = <a, b, c> och vecB = <d, e, f> Dotprodukten är vecA.vecB = <a, b, c>. <D, e, f> = ad + be + cf Här. vecu = <5, -9, -9> och vecv = <4 / 5,4 / 3, -1> Dotprodukten är vecu.vecv = <5, -9, -9>. <4 / 5,4 / 3, -1> = 5 * 4 / 5-9 * 4/3 + (- 9 * -1) = 4-12 + 9 = 1 Läs mer »

A = 19/7, p = 75/7, q = 25/7 Samtal f_1 (x) = ax ^ 3-3x ^ 2 + 2x-3 f_2 (x) = ax ^ 2-5x + a vi vet att f_1 (x) = q_1 (x) (x-2) + p och f_2 (x) = q_2 (x) (x-2) + q så f_1 (2) = 8a-12 + 4-3 = pf_2 ) = 4a-10 + a = q och även p = 3q Lösning {(8a-11 = p), (5a-10 = q), (p = 3q):} vi erhåller a = 19/7, p = 75 / 7, q = 25/7 Läs mer »

A_32 = -374 En aritmetisk sekvens är av formen: a_ (i + 1) = a_i + q Därför kan vi också säga: a_ (i + 2) = a_ (i + 1) + q = a_i + q + q = a_i + 2q Således kan vi sluta: a_ (i + n) = a_i + nq Här har vi: a_1 = -33 a_9 = -121 rarr a_ (1 + 8) = - 33 + 8q = -121 rarr 8q = -121 + 33 = -88 rarr q = (-88) / 8 = -11 Därför: a_32 = a_ (1 + 31) = - 33-11 * 31 = -33-341 = -374 Läs mer »

Kolla efter det tvetydiga fallet och, om det är lämpligt, använd lagen av Sines för att lösa triangeln. Här är en referens för den tvetydiga fallsvinkeln A är akut. Beräkna värdet av h: h = (c) sin (A) h = (10) sin (60 ^ @) h ~ ~ 8.66 h <a <c, därför finns två möjliga trianglar, en triangel har vinkel C _ ") och den andra triangeln har vinkel C _ (" obtuse ") Använd Sines lagen att beräkna vinkel C _ (" akut ") synd (C _ (" akut ")) / c = sin (A) / en synd "akut")) = sin (A) c / a C _ (&qu Läs mer »

De möjliga rationella nollorna är: + -1 / 33, + -1 / 11, + -5 / 33, + -7 / 33, + -5 / 11, +7 / 11, + -1 / 3, + - 1, + -35 / 33, + -5 / 3, +7 / 3, +35 / 11, + -5, + -7, +35 / 3, + -35 Givet: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 Med den rationella nollteoretiken kan alla rationella nollor av f (x) uttryckas i formen p / q för heltal p, q med pa-divisor av den konstanta termen -35 och qa-divisorn av koefficienten 33 av den ledande termen. Divisorerna av -35 är: + -1, + -5, + -7, + -35 Divisorerna av 33 är: + -1, + -3, + -11, + -33 Så de möjliga rationella nollorna är: + -1, + -5, + -7, + Läs mer »

DeMoivres teorem expanderar på Eulers formel: e ^ (ix) = cosx + isinx DeMoivre's Theorem säger att: (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (ix) + cos (nx) + isin (nx) cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n Exempel: cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2in ^ 2x Imidlertid ^ ^ = -1 (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x Upplösning för reella och imaginära delar av x: cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) Jämförelse med cos (2x) + isin (2x) cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x sin (2x) = 2sinxcosx Det hä Läs mer »

42x-39 = 3 (14x-13). Låt oss ange, med p (x) = 3x ^ 5-5x ^ 2 + 4x + 1, det givna polynomet (poly.). Att notera att divisorn poly., Dvs, (x-1) (x + 2), är av grad 2, graden av återstoden (poly.) Sökt efter måste vara mindre än 2. Därför antar vi att återstoden är ax + b. Om q (x) är kvotienten poly, så har vi, p (x) = (x-1) (x + 2) q (x) + (ax + b), eller , 3x ^ 5-5x ^ 2 + 4x + 1 = (x-1) (x + 2) q (x) + (ax + b) ...... (stjärna). (stjärna) "håller bra" AA x i RR. Vi föredrar, x = 1, och, x = -2! Sub.ing, x = 1 i (stjärna), 3-5 + 4 Läs mer »

"Det finns ingen riktig lösning för ekvationen." 243 = 3 * 81 => 81 ^ x = (3 * 81) ^ x + 2 => 81 ^ x = 3 ^ x * 81 ^ x + 2 => 81 ^ x (1 - 3 ^ x) = 2 = > (3 ^ x) ^ 4 (1-3) x 2 = Namn "y = 3 ^ x", då har vi "=> y ^ 4 (1 - y) = 2 => y ^ 5 - y ^ 4 + 2 = 0 "Den här kvintiska ekvationen har den enkla rationella roten" y = -1. "" Så "(y + 1)" är en faktor, vi delar upp den: "=> (y + 1) ^ 4-2 y ^ 3 + 2 y ^ 2-2 y + 2) = 0 "Det visar sig att den kvarvarande kvartslikningen inte har några riktiga rötter. Så Läs mer »

Den resulterande vektorn kommer att vara 402,7m / s vid en standardvinkel på 165,6 °. Först löser du varje vektor (ges här i standardform) i rektangulära komponenter (x och y). Sedan lägger du till x-komponenterna och lägger ihop y-komponenterna. Detta kommer att ge dig svaret du söker, men i rektangulär form. Slutligen omvandla den resulterande till standardform. Så här: Lös upp i rektangulära komponenter A_x = 125 cos 140 ° = 125 (-0.766) = -95.76 m / s A_y = 125 sin 140 ° = 125 (0.643) = 80.35 m / s B_x = 185 cos (-150 °) = 185 (-0.866) Läs mer »

Konvertera vektorerna till enhetsvektorer, lägg sedan till ... Vector A = 13 [cos250i + sin250j] = - 4,446i-12,216j Vector B = 27 [cos330i + sin330j] = 23.383i-13.500j Vector A + B = 18.936i -25,716j Magnitude A + B = sqrt (18.936 ^ 2 + (- 25.716) ^ 2) = 31.936 Vector A + B är i kvadrant IV. Hitta referensvinkeln ... Referensvinkel = tan ^ -1 (25.716 / 18.936) = 53.6 ^ o Riktning av A + B = 360 ^ o-53,6 ^ o = 306,4 ^ o Hopp som hjälpte Läs mer »

Inte helt definierad där vinklarna tas från så 2 möjliga förhållanden. Metod: Löst upp i vertikala och horisontella komponenter färg (blå) ("Skick 1") Låt A vara positiv Låt B vara negativ som motsatt riktning. Magnitud på resulterande är 24,9 - 20 = 4,9 ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ färg (blå) ("Skick 2") Låt till höger vara positivt Låt oss låta vara negativt Låt oss uppåt är positiv Låt ner vara negativ Låt den resulterande vara R färg (brun) ("Lös alla horisontella Läs mer »

Svaret är = 4.12A Vektorerna är följande: vecA = <0,1> A vecB = <2,0> A vecC = 3.6vecA + vecB = (3,6 xx <0,1>) A + <2,0> A = <2, 3,6> A Storleken på vecC är = || vecC || = || <2, 3.6> || A = sqrt (2 ^ 2 + 3,6 ^ 2) A = 4,12A Läs mer »

Gilla detta: Courtesy of Mathsisfun.com I Pascals triangel motsvarar expansionen som höjs till kraften av 6 den 7: e raden av Pascals triangel. (Rad 1 motsvarar en expansion som ökas till effekten 0, vilket är lika med 1). Pascals triangel anger koefficienten för varje term i expansionen (a + b) ^ n från vänster till höger. Således börjar vi expandera vår binomial, arbeta från vänster till höger, och med varje steg tar vi vi minskar vår exponent av termen som motsvarar en med 1 och ökningen eller exponenten av termen som motsvarar b med 1. (1 gå Läs mer »

Zeros är x = -1, x = -2 och x = 3f (x) = x ^ 3-7 x - 6; Genom inspektion f (-1) = 0 blir så (x + 1) en faktor. x ^ 3-7 x -6 = x ^ 3 + x ^ 2xx2 -x-6x -6 = x ^ 2 (x + 1) -x (x + 1) -6 (x +1) = (x + 1) (x ^ 2 -x-6) = (x + 1) (x ^ 2 -3 x +2 x-6) = (x + 1) {x (x -3) +2 x-3)}:. f (x) = (x + 1) (x -3) (x + 2):. f (x) kommer att vara noll för x = -1, x = -2 och x = 3 Därför är nollor x = -1, x = -2 och x = 3 [Ans] Läs mer »

Använd den rationella rötternas stämning för att hitta de möjliga rationella nollorna. > f (x) = 2x ^ 3-15x ^ 2 + 9x + 22 Med den rationella rötternas teorem är de enda möjliga rationella nollorna uttryckliga i form p / q för heltal p, q med pa-divisor av konstant termen 22 och qa divisor av koefficient 2 av ledande term.Så de enda möjliga rationella nollorna är: + -1 / 2, + -1, + -2, + -11 / 2, + -11, + -22 Utvärdering av f (x) för var och en av dessa finner vi att ingen arbetar, så f (x) har inga rationella nollor. Färg (vit) () Vi kan ta Läs mer »

Här är några av dem. Misstag i minnet Nämjen 2a är under summan / skillnaden. Det är inte bara under kvadratroten. Ignorera tecken Om a är positiv men c är negativ, blir b ^ 2-4ac summan av två positiva tal. (Förutsatt att du har riktiga antal koefficienter.) Läs mer »

Några tankar ... Nummer ett misstag verkar vara en felaktig förväntan att algebraens grundläggande teori faktiskt hjälper dig att hitta de rötter som det berättar för dig är där. FTOA berättar att ett icke-konstant polynom i en variabel med komplexa (möjligen reella) koefficienter har en komplex (möjligen reell) noll. En okomplicerad följd av detta, som ofta anges med FTOA, är att ett polynom i en variabel med komplexa koefficienter av grad n> 0 har exakt n komplex (möjligen reell) nolloräknande multiplicitet. FTOA berättar inte hu Läs mer »

Domän är vanligtvis ett ganska enkelt koncept, och är för det mesta bara att lösa ekvationer. En plats har jag funnit att folk tenderar att göra fel på domänen är när de behöver utvärdera kompositioner. Tänk på följande problem: f (x) = sqrt (4x + 1) g (x) = 1 / 4x Utvärdera f (g (x)) och g (f (x)) och ange domänen för varje komposit fungera. f (g (x)): sqrt (4 (1 / 4x) +1) sqrt (x + 1) Domänen för detta är x -1, som du får genom att ställa in vad som ligger inne i roten större än eller lika med noll Läs mer »

Se nedan. Några vanliga misstag som studenter upplever när de arbetar med intervall kan vara: Glömma att ta hänsyn till horisontella asymptoter (oroa dig inte för detta tills du kommer till Rational Functions-enheten) (Göras vanligtvis med logaritmiska funktioner) Använda kalkylatorns graf utan att tänka på dig för att tömma fönstret (t ex visar räknare inte diagram som fortsätter mot vertikala asymptoter, men algebraiskt kan du härleda att de faktiskt borde) Förvirra intervallet med domän (domän är vanligtvis x, medan intervalle Läs mer »

Se förklaring nedan Vanliga misstag är inte faktiskt mycket vanliga. Det beror på en viss elev. Men här är några få sannolika misstag som en elev kan göra med 2-D-vektorer 1.) Förstå vetenskapens riktning. Exempel: vec {AB} representerar vektorn av längd AB som är riktade från punkt A till punkt B dvs punkt A är svans och punkt B är huvudet av vec {AB} 2.) Misforstår riktningen för en positionsvektor Positionsvektor av någon punkt säger att A alltid har svanspunkten vid ursprunget O och huvudet vid den givna punkten A 3.) Fö Läs mer »

Kanske är det vanligaste misstaget med den gemensamma logget att glömma att man har en logaritmisk funktion. Detta i sig kan leda till andra misstag; till exempel att tro att log y är en större än log x betyder att y inte är mycket större än x. Naturen för en logaritmisk funktion (inklusive den gemensamma loggfunktionen, som helt enkelt log_10) är sådan att om log_n y är en större än log_n x betyder det att y är större än x med en faktor n. Ett annat vanligt fel glömmer att funktionen inte existerar för värden på x lika Läs mer »

De misstag jag är medveten av att de flesta studenter gör är inte att utvärdera determinanterna korrekt. De gör misstag med att bestämma medfaktorerna med de rätta tecknen. Och sedan verifierar de flesta inte svaren genom att ersätta värdena för variablerna i de givna ekvationerna och kontrollera om värdena har överensstämmer med ekvationerna eller inte. Annars än, Cramer regel är för enkelt att göra något annat misstag. Läs mer »

Standardformuläret för en ellips (som jag lär det) ser ut som: (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1. (h, k) är centrum. avståndet "a" = hur långt höger / vänster för att flytta från mitten för att hitta de horisontella ändpunkterna. avståndet "b" = hur långt upp / ner för att flytta från mitten för att hitta de vertikala ändpunkterna. Jag tror att ofta eleverna misstänker att en ^ 2 är så långt att flytta från centrum för att hitta slutpunkterna. Ibland skulle det vara ett mycket Läs mer »

Ett vanligt fel är inte korrekt att hitta värdet på r, den gemensamma multiplikatorn. Till exempel, för den geometriska sekvensen 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, ... multiplikatorn r = 2. Ibland förvirrar fraktionerna studenterna. Ett svårare problem är detta: -1/4, 3/16, -9/64, 27/56, .... Det kan inte vara uppenbart vad multiplikatorn är och lösningen är att hitta förhållandet mellan två successiva termer i sekvensen, som visas här: (andra termen) / (första termen) som är (3/16) / (- 1 / 4) = 3/16 * -4/1 = -3/4. Således är den gemensamma mult Läs mer »

Jag tror att det vanligaste misstaget som människor gör med dessa försöker hitta summan när det gemensamma förhållandet är större än eller lika med 1. Det gemensamma förhållandet måste vara mindre än 1 för grafen att konvergera till en summa. Om det är lika med eller större än 1, avviker serien och kommer inte att ha någon summa. Det är dock mycket lätt att glömma det här, och jag skulle inte bli förvånad om vissa elever får problem fel på grund av detta. Läs mer »

Eleverna gör misstag med logaritmer eftersom de arbetar med exponenter i omvänd! Det här är utmanande för våra hjärnor, eftersom vi ofta inte är så säkra på vårt antal antal och exponentegenskaperna ... Nu är krafter på 10 "enkla" för oss, eller hur? Bara räkna antalet nollor till höger om "1" för positiva exponenter och flytta decimalen till vänster för negativa exponenter .... Därför ska en student som känner till 10 krafter kunna göra logaritmer i bas 10 lika bra: log (10) = 1 vilke Läs mer »

Ett par tankar ... Det här är mer gissningar än en informerad åsikt, men jag skulle misstänka att huvudfelet ligger i linje med att man inte letar efter lösningar i följande två fall: När man löser det ursprungliga problemet har man involverat att kvadrera den någonstans längs linje. När man löser en rationell ekvation och har multiplicerat båda sidorna med en viss faktor (vilket råkar vara noll för en av rötterna för den härledda ekvationen). färg (vit) () Exempel 1 - Kvadrering Givet: sqrt (x + 3) = x-3 Kvadrata b Läs mer »